バーゼル問題のメモ

平方数の逆数の和 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ はいくつになるか、という問題。

答え

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$$

オイラーの発想

$\sin x$ を無限積に分解する:

$$\frac{\sin x}{x} = \prod_{n=1}^{\infty} \left(1 - \frac{x^2}{n^2 \pi^2}\right)$$

一方テイラー展開は

$$\frac{\sin x}{x} = 1 - \frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!} - \cdots$$

$x^2$ の係数を比べると $-\frac{1}{6} = -\sum \frac{1}{n^2\pi^2}$ となり、答えが出る。

参考: 積分

$$\int_0^1 x^2 \, dx = \frac{1}{3}$$